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<!DOCTYPE html>

<title>Variationsrechnung</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Variationsrechnung</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Variationsrechnung ist ein <a href="Mathematik" title="Mathematik">mathematisches</a> Teilgebiet der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a>, in welchem kleine Änderungen in <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> und <a href="Funktional" title="Funktional">Funktionalen</a> studiert werden, um Minima und Maxima von Funktionalen zu bestimmen.

Dieses (unendlichdimensionale) <a href="Optimierungsproblem" title="Optimierungsproblem">Optimierungsproblem</a> mit Anwendungen in der <a href="Theoretische_Physik" class="mw-redirect" title="Theoretische Physik">theoretischen</a> und der <a href="Mathematische_Physik" title="Mathematische Physik">mathematischen Physik</a> wurde um die Mitte des 18. Jahrhunderts insbesondere von <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> und <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a> zu einem Fachgebiet entwickelt.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Die Variationsrechnung, ihre verwandten Themen und Anwendungen sind Gegenstand aktueller Lehre,<a href="#cite_note-2">[2]</a> Weiterentwicklung<a href="#cite_note-3">[3]</a> und Forschung.<a href="#cite_note-4">[4]</a> Die Frage „Wie können die Methoden der Variationsrechnung weiterentwickelt werden?“ ist das 23. Problem auf <a href="Hilbertsche_Probleme" title="Hilbertsche Probleme">Hilberts Liste</a>. Weitere Beiträge lieferten u. a. die Mathematiker <a href="Ennio_De_Giorgi" title="Ennio De Giorgi">Ennio De Giorgi</a> und <a href="Charles_Morrey" title="Charles Morrey">Charles Morrey</a>. Ihre Forschungsarbeiten führten zur Lösung des 19. Hilbert-Problems mit der Herausforderung „Sind alle Lösungen von regulären Variationsproblemen analytisch?“. Die von der deutschen Mathematikerin <a href="Emmy_Noether" title="Emmy Noether">Emmy Noether</a> entwickelten <a href="Noether-Theorem" title="Noether-Theorem">Theoreme</a>, die mit der Variationsrechnung zusammenhängen,<a href="#cite_note-5">[5]</a><a href="#cite_note-6">[6]</a> spielen heutzutage eine bedeutende Rolle in der modernen Physik (<a href="Symmetrie_(Physik)" title="Symmetrie (Physik)">Symmetrie</a>). Der US-Mathematikerin <a href="Karen_Uhlenbeck" title="Karen Uhlenbeck">Karen Uhlenbeck</a> wurde 2019 der <a href="Abelpreis" title="Abelpreis">Abelpreis</a> zugesprochen.<a href="#cite_note-7">[7]</a> Uhlenbeck hat sich intensiv mit der Variationsrechnung befasst.<a href="#cite_note-8">[8]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grundlagen"> Grundlagen</h2></div>

Die Variationsrechnung beschäftigt sich mit reellen <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> von Funktionen, die auch <a href="Funktional" title="Funktional">Funktionale</a> genannt werden. Solche Funktionale können etwa Integrale über eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen sein. Dabei interessiert man sich für stationäre Funktionen, also solche, für die das Funktional ein <a href="Extremwert" title="Extremwert">Maximum</a>, ein <a href="Extremwert" title="Extremwert">Minimum</a> (Extremale)<a href="#cite_note-9">[9]</a> oder einen <a href="Sattelpunkt" title="Sattelpunkt">Sattelpunkt</a> annimmt. Einige klassische Probleme können elegant mit Hilfe von Funktionalen formuliert werden.

Das Schlüssel<a href="Theorem" title="Theorem">theorem</a> der Variationsrechnung ist die Euler-Lagrange-Gleichung, genauer „Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung“. Diese beschreibt die Stationaritätsbedingung eines Funktionals. Wie bei der Aufgabe, die Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, wird sie aus der Analyse kleiner Änderungen (Variation) um die angenommene Lösung hergeleitet. Die Euler-Lagrangesche Differentialgleichung ist lediglich eine <a href="Notwendige_und_hinreichende_Bedingung" title="Notwendige und hinreichende Bedingung">notwendige Bedingung</a>. Weitere notwendige Bedingungen für das Vorliegen einer Extremalen lieferten <a href="Adrien-Marie_Legendre" title="Adrien-Marie Legendre">Adrien-Marie Legendre</a> und <a href="Alfred_Clebsch" title="Alfred Clebsch">Alfred Clebsch</a> sowie <a href="Carl_Gustav_Jacob_Jacobi" title="Carl Gustav Jacob Jacobi">Carl Gustav Jacob Jacobi</a>. Eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung stammt von <a href="Karl_Weierstra%C3%9F" title="Karl Weierstraß">Karl Weierstraß</a>.<a href="#cite_note-10">[10]</a><a href="#cite_note-11">[11]</a> Weierstraß präsentierte ein Gegenbeispiel zum <a href="Dirichlet-Prinzip" title="Dirichlet-Prinzip">Dirichletschen Prinzip</a>. Basierend auf dieser neuen Erkenntnis („Existenztheorien“)<a href="#cite_note-:0-12">[12]</a> entwickelte sich die Variationsrechnung fortan zu den Direkten Methoden der Variationsrechnung.<a href="#cite_note-:0-12">[12]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungsgebiete">Anwendungsgebiete</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Historisch">Historisch</h3></div>

Ein typisches Anwendungsbeispiel ist das <a href="Brachistochrone" title="Brachistochrone">Brachistochronenproblem</a>: Auf welcher Kurve in einem Schwerefeld von einem Punkt A zu einem Punkt B, der unterhalb, aber nicht direkt unter A liegt, benötigt ein Objekt die geringste Zeit zum Durchlaufen der Kurve? Von allen Kurven zwischen A und B minimiert eine den Ausdruck, der die Zeit des Durchlaufens der Kurve beschreibt. Dieser Ausdruck ist ein Integral, das die unbekannte, gesuchte Funktion, die die Kurve von A nach B beschreibt, und deren Ableitungen enthält.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ingenieurwesen">Ingenieurwesen</h3></div>

Die Variationsrechnung findet Anwendung in der Steuerungs- und Regelungstheorie, wenn es um die Bestimmung von <a href="Optimale_Regelung" title="Optimale Regelung">Optimalreglern</a> geht. Die aus dem <a href="Rayleigh-Ritz-Prinzip" title="Rayleigh-Ritz-Prinzip">Verfahren von Ritz</a> weiterentwickelte <a href="Finite-Elemente-Methode" title="Finite-Elemente-Methode">Finite-Elemente-Methode</a> findet z. B. Anwendung in der <a href="Strukturmechanik" title="Strukturmechanik">Strukturmechanik</a>.<a href="#cite_note-13">[13]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mathematik">Mathematik</h3></div>

Die Methoden der Variationsrechnung tauchen bei den <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a>-Techniken, der <a href="Morsetheorie" class="mw-redirect" title="Morsetheorie">Morsetheorie</a> und bei der <a href="Symplektische_Mannigfaltigkeit" title="Symplektische Mannigfaltigkeit">symplektischen Geometrie</a> auf. Der Begriff Variation wird für alle „Extremal-Probleme“ von Funktionen verwendet. <a href="Geod%C3%A4sie" title="Geodäsie">Geodäsie</a> und <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a> sind Bereiche der Mathematik, in denen Variationen eine Rolle spielen, bzw. mittels dieser weiterentwickelt wird.<a href="#cite_note-14">[14]</a> Besonders am Problem der <a href="Minimalfl%C3%A4che" title="Minimalfläche">minimalen Oberflächen</a> (vgl. auch <a href="Plateau-Problem" title="Plateau-Problem">Plateau-Problem</a>), die etwa bei Seifenblasen auftreten, wurde viel gearbeitet.<a href="#cite_note-15">[15]</a> Variationsmethoden finden Anwendung bei den <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partiellen Differentialgleichungen</a>.<a href="#cite_note-16">[16]</a> In der Mathematik wurde die Variationsrechnung beispielsweise bei der <a href="Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">riemannschen</a> Behandlung des Dirichlet-Prinzips für <a href="Harmonische_Funktion" title="Harmonische Funktion">harmonische Funktionen</a> verwendet.<a href="#cite_note-17">[17]</a>

Andere Weiterentwicklungen existieren, z. B. <a href="%CE%93-Konvergenz" title="Γ-Konvergenz">Γ-Konvergenz</a>, stochastische Variationsmethoden.<a href="#cite_note-18">[18]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Physik">Physik</h3></div>

Die Variationsrechnung ist die mathematische Grundlage aller physikalischen Extremalprinzipien und deshalb besonders in der <a href="Theoretische_Physik" class="mw-redirect" title="Theoretische Physik">theoretischen Physik</a> wichtig, so etwa im <a href="Lagrange-Formalismus" title="Lagrange-Formalismus">Lagrange-Formalismus</a> der <a href="Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a> bzw. der <a href="Bahnbestimmung" title="Bahnbestimmung">Bahnbestimmung</a>, in der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a><a href="#cite_note-19">[19]</a> in Anwendung des <a href="Hamiltonsches_Prinzip" title="Hamiltonsches Prinzip">Prinzips der kleinsten Wirkung</a> und in der <a href="Statistische_Physik" title="Statistische Physik">statistischen Physik</a> im Rahmen der <a href="Dichtefunktionaltheorie_(statistische_Physik)" title="Dichtefunktionaltheorie (statistische Physik)">Dichtefunktionaltheorie</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Direkte_Methoden_der_Variationsrechnung">Direkte Methoden der Variationsrechnung</h2></div>

Grundlegend ist der Euler-Lagrange Ansatz effektiv im Auffinden von Extremalen von Funktionalen. Jedoch ist es bereits bei mehreren Variablen, wo die Euler-Lagrange-Gleichung eine partielle Differentialgleichung darstellt, nicht möglich, eine explizite Lösung zu finden. Es existieren weitere Einschränkungen.<a href="#cite_note-:0-12">[12]</a> Hingegen gehen die sog. Direkten Methoden der Variationsrechnung auf den generellen Fall ein, welcher der Frage nachgeht, unter welchen generellen Bedingungen können Funktionale minimiert werden?<a href="#cite_note-:0-12">[12]</a> Die Ansätze bedienen sich dabei stark der Methoden der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a>.<a href="#cite_note-20">[20]</a> Wichtige Theoreme und Beiträge zur Methode erfolgten durch <a href="Leonida_Tonelli" title="Leonida Tonelli">Tonelli</a>, <a href="Guido_Ascoli" title="Guido Ascoli">Ascoli</a>, <a href="Cesare_Arzel%C3%A0" title="Cesare Arzelà">Arzelà</a> und <a href="David_Hilbert" title="David Hilbert">Hilbert</a>.<a href="#cite_note-21">[21]</a>

Zu den direkten Methoden der Variationsrechnung zählen z. B. das <a href="Rayleigh-Ritz-Prinzip" title="Rayleigh-Ritz-Prinzip">Approximationsverfahren nach Ritz</a> sowie das <a href="Differenzenverfahren" class="mw-redirect" title="Differenzenverfahren">Differenzenverfahren</a> nach Euler.<a href="#cite_note-22">[22]</a> Die mathematische Theorie dazu hat Zusammenhänge mit der Theorie der <a href="Konvexe_und_konkave_Funktionen" title="Konvexe und konkave Funktionen">Konvexen Analysis</a>.<a href="#cite_note-23">[23]</a><a href="#cite_note-24">[24]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Euler-Lagrange-Gleichung">Euler-Lagrange-Gleichung</h2></div>

Zentrales Element bildet die Euler-Lagrange-Gleichung<a href="#cite_note-:0-12">[12]</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta I(x,\delta x)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d2a7ed20b3a43bf8c60db88bd391d32532e1d62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.033ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta I(x,\delta x)=0}" loading="lazy">,</dd></dl>

die für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle I=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} t}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle I=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d19ddedfa6b283250e504de16d0b77eb6ab4d79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.198ex; height:3.176ex;" alt="{\textstyle I=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} t}" loading="lazy"> gerade zur <a href="Lagrange-Gleichung" class="mw-redirect" title="Lagrange-Gleichung">Lagrange-Gleichung</a> aus der <a href="Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a> wird. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> ist dabei die Variation, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9027196ecb178d598958555ea01c43157d83597c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.604ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}}" loading="lazy"> die sog. Lagrangefunktion und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> das Funktional. Mehr dazu siehe die Herleitung.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ein_Hilfsmittel_aus_der_Analysis_reeller_Funktionen_in_einer_reellen_Veränderlichen">Ein Hilfsmittel aus der Analysis reeller Funktionen in einer reellen Veränderlichen</h3></div>

Im Folgenden wird eine wichtige Technik der Variationsrechnung demonstriert, bei der eine notwendige Aussage für eine lokale Minimumstelle einer <a href="Reelle_Funktion" class="mw-redirect" title="Reelle Funktion">reellen Funktion</a> mit nur einer reellen Veränderlichen in eine notwendige Aussage für eine lokale Minimumstelle eines Funktionals übertragen wird. Diese Aussage kann dann oftmals zum Aufstellen beschreibender Gleichungen für stationäre Funktionen eines Funktionals benutzt werden.

Sei ein <a href="Funktional" title="Funktional">Funktional</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I\colon X\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I\colon X\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ad820d04b96eab857b71b3eacce4ffe3a61c68e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.478ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I\colon X\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> auf einem Funktionenraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> gegeben (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> muss mind. ein <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologischer Raum</a> sein). Das Funktional habe an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}" loading="lazy"> ein <a href="Extremwert" title="Extremwert">lokales Minimum</a>.

Durch den folgenden einfachen Trick tritt an die Stelle des „schwierig handhabbaren“ Funktionals <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> eine reelle Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(\alpha )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(\alpha )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30d1603b950a4f18706aeb41b4c1e1c256026c5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.038ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(\alpha )}" loading="lazy">, die nur von einem reellen Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> abhängt „und entsprechend einfacher zu behandeln ist“.

Mit einem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \epsilon >0}" loading="lazy"> sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/500983860ea85f72043d1716a91dc513eb4b92e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.154ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )}}" loading="lazy"> eine beliebige stetig durch den reellen Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> parametrisierte Familie von Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{\alpha }\in X}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{\alpha }\in X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a2de3f1eebb49760b3bd7cd30be086592ee53ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.435ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{\alpha }\in X}" loading="lazy">. Dabei sei die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> (d. h., <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{\alpha }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fcd68505f66718efda85db1b17010ffa0222054f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.614ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{\alpha }}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30cc00f65bbc630448311dd2dc82e7ce5e90985a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =0}" loading="lazy">) gerade gleich der stationären Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">. Außerdem sei die durch die Gleichung

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(\alpha ):=I(x_{\alpha })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdd18238495729c687ad3fc2156d4d144b16b5fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.378ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(\alpha ):=I(x_{\alpha })}" loading="lazy"></dd></dl>

definierte Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\colon (-\epsilon ,\epsilon )\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\colon (-\epsilon ,\epsilon )\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7fcb14d39f4667ba4346de5c58974fd7eb66540.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.607ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F\colon (-\epsilon ,\epsilon )\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30cc00f65bbc630448311dd2dc82e7ce5e90985a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =0}" loading="lazy"> differenzierbar.

Die stetige Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> nimmt dann an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30cc00f65bbc630448311dd2dc82e7ce5e90985a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =0}" loading="lazy"> ein lokales Minimum an, da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=x}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14745b8f7723f2031eb388152d53b1b39b43bb66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.812ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=x}" loading="lazy"> ein lokales Minimum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> ist.

Aus der Analysis für reelle Funktionen in einer reellen Veränderlichen ist bekannt, dass dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}F(\alpha )|_{\alpha =0}=0}">

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}F(\alpha )|_{\alpha =0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26beff0d9797f972f1264af08a17b961edd9a8f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:16.132ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}F(\alpha )|_{\alpha =0}=0}" loading="lazy"> gilt. Auf das Funktional übertragen heißt das

<msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}I(x_{\alpha })\right|_{\alpha =0}=0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06e79c6675a4c3363555781f1b2917ae52500f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.15ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}I(x_{\alpha })\right|_{\alpha =0}=0.}" loading="lazy"></dd></dl>

Beim Aufstellen der gewünschten Gleichungen für stationäre Funktionen wird dann noch ausgenutzt, dass die vorstehende Gleichung für jede beliebige („gutartige“) Familie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/500983860ea85f72043d1716a91dc513eb4b92e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.154ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=x}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14745b8f7723f2031eb388152d53b1b39b43bb66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.812ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=x}" loading="lazy"> gelten muss.

Das soll im nächsten Abschnitt anhand der Euler-Gleichung demonstriert werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Euler-Lagrange-Gleichung;_Variationsableitung;_weitere_notwendige_bzw._hinreichende_Bedingungen">Euler-Lagrange-Gleichung; Variationsableitung; weitere notwendige bzw. hinreichende Bedingungen</h3></div>

Gegeben seien zwei Zeitpunkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{a},t_{e}\in \mathbb {R} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{a},t_{e}\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34cd007b66f694b8140c08928c911267d6748877.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t_{a},t_{e}\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{e}>t_{a}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{e}>t_{a}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf02ce36fa468ad5425c59897a0701129f9f44c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.878ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{e}>t_{a}}" loading="lazy"> und eine in allen Argumenten zweifach stetig differenzierbare Funktion, die <a href="Lagrangefunktion" class="mw-redirect" title="Lagrangefunktion">Lagrangefunktion</a>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mtext> offen</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}\colon (t_{a},t_{e})\times G\to \mathbb {R} \ ,\quad G\subset \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\ ,\quad G{\text{ offen}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30d7549dae3442f5ba57fbf45b3aa04584dc8a25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.971ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}\colon (t_{a},t_{e})\times G\to \mathbb {R} \ ,\quad G\subset \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\ ,\quad G{\text{ offen}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Beispielsweise ist bei der Lagrangefunktion des freien relativistischen Teilchens mit Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e3467f9e219a5ea38a30da5c3a02c2c23f61a79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=1}" loading="lazy">

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}(t,x,v)=-m{\sqrt {1-v^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af34ea9b274a2a69cc99530b5791e6a248f2755d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.233ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}(t,x,v)=-m{\sqrt {1-v^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

das Gebiet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> das kartesische Produkt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"> und dem Inneren der <a href="Einheitskugel" title="Einheitskugel">Einheitskugel</a>.

Als Funktionenraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> wird die Menge aller zweifach stetig differenzierbaren Funktionen

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\colon [t_{a},t_{e}]\to \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/461206b20d0ca8b7ea8fbce2fe12cfdc66d85137.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.981ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\colon [t_{a},t_{e}]\to \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></dd></dl>

gewählt, die zum Anfangszeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{a}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{a}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c1f89579c6b54711128de7bad0f0f760e116180.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.941ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{a}}" loading="lazy"> und zum Endzeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{e}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{e}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4004a41da2e68ea68ed4f605bb28db65c709c96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{e}}" loading="lazy"> die fest vorgegebenen Orte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{a}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{a}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcc83e1ad0eaf733b246521d51f5880901c563a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.432ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{a}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{e}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{e}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bffc1d36b6465edf0ff6f9950096c46f85888c44.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.328ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{e}}" loading="lazy"> einnehmen:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t_{a})=x_{a}\ ,\quad x(t_{e})=x_{e}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a13d1affc51c46b1e1f45e0bc4e1715bf8b8d761.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t_{a})=x_{a}\ ,\quad x(t_{e})=x_{e}}" loading="lazy"></dd></dl>

und deren Werte zusammen mit den Werten ihrer Ableitung in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> liegen,

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall t\in [t_{a},t_{e}]\colon \left(x(t),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)\right)\in G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/914dedf83c57715698f8b4ba969d5b0c70067b61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.322ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \forall t\in [t_{a},t_{e}]\colon \left(x(t),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)\right)\in G}" loading="lazy">.</dd></dl>

Mit der Lagrangefunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9027196ecb178d598958555ea01c43157d83597c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.604ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}}" loading="lazy"> wird nun das Funktional <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I\colon X\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I\colon X\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ad820d04b96eab857b71b3eacce4ffe3a61c68e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.478ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I\colon X\to \mathbb {R} }" loading="lazy">, die Wirkung, durch

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I(x):=\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83c257cd0ce1a0aa8a9719fe1f47a0090917f073.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:27.613ex; height:9.343ex;" alt="{\displaystyle I(x):=\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))\,\mathrm {d} t}" loading="lazy"></dd></dl>

definiert.

Gesucht ist diejenige Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}" loading="lazy">, die die Wirkung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> minimiert.

Entsprechend der im vorhergehenden Abschnitt vorgestellten Technik untersuchen wir dazu alle differenzierbaren einparametrigen Familien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )}\subset X}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )}\subset X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b9a294a4fe463a7c73efbe05c3a88701ba121cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:16.233ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )}\subset X}" loading="lazy">, die für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30cc00f65bbc630448311dd2dc82e7ce5e90985a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =0}" loading="lazy"> durch die stationäre Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> des Funktionals gehen (es gilt also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=x}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14745b8f7723f2031eb388152d53b1b39b43bb66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.812ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=x}" loading="lazy">). Genutzt wird die im letzten Abschnitt hergeleitete Gleichung

<msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}I(x_{\alpha })\right|_{\alpha =0}=\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\,\mathrm {d} t\right]_{\alpha =0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76a1459e05ba4a07e771fc6df3a26168f559796c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:53.216ex; height:9.676ex;" alt="{\displaystyle 0=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}I(x_{\alpha })\right|_{\alpha =0}=\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\,\mathrm {d} t\right]_{\alpha =0}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Hereinziehen der Differentiation nach dem Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> in das Integral liefert mit der Kettenregel (<a href="Leibnizregel_f%C3%BCr_Parameterintegrale" title="Leibnizregel für Parameterintegrale">Leibnizregel für Parameterintegrale</a>)

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

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<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mtr>

<mtr>

<mtd>

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</mrow>

</munderover>

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</mrow>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</msub>

</mrow>

</munderover>

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</mrow>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left[\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}\left(\partial _{2}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)+\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\partial _{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }(t)\right)\,\mathrm {d} t\right]_{\alpha =0}\\&=\left[\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}\partial _{2}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\,\mathrm {d} t+\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\partial _{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }(t)\,\mathrm {d} t\right]_{\alpha =0}.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a691c6348a16a73e1badea19ed638f7ea8ccbfa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.171ex; width:79.375ex; height:19.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left[\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}\left(\partial _{2}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)+\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\partial _{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }(t)\right)\,\mathrm {d} t\right]_{\alpha =0}\\&=\left[\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}\partial _{2}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\,\mathrm {d} t+\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\partial _{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }(t)\,\mathrm {d} t\right]_{\alpha =0}.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei stehen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{2},\partial _{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{2},\partial _{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7828acbf8bc7259dcb6e6b3b62a0b4df0b2e6290.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.611ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \partial _{2},\partial _{3}}" loading="lazy"> für die Ableitungen nach dem zweiten bzw. dritten Argument und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{\alpha }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7eab9f5f18c7860f682fdf1443b92c30cc7e02e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.519ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \partial _{\alpha }}" loading="lazy"> für die <a href="Partielle_Ableitung" title="Partielle Ableitung">partielle Ableitung</a> nach dem Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy">.

Es wird sich später als günstig erweisen, wenn im zweiten Integral statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10ff5934a68df75f9b9ec9c47fb82613789f6120.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.781ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial _{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }(t)}" loading="lazy"> wie im ersten Integral <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75ee178b770d6c7c5073e9af41d61db2212e4722.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.781ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)}" loading="lazy"> steht. Das erreicht man durch <a href="Partielle_Integration" title="Partielle Integration">partielle Integration</a>:

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

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</mrow>

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<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=\left.\left.\left[\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}\partial _{2}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\,\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\,\mathrm {d} t+\right[\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\,\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\right]_{t=t_{a}}^{t_{e}}\right.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dfff00226c8098c5945a06a4ff970efdcfb7412f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:74.561ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle 0=\left.\left.\left[\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}\partial _{2}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\,\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\,\mathrm {d} t+\right[\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\,\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\right]_{t=t_{a}}^{t_{e}}\right.}" loading="lazy">

<msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\left.\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\right)\,\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\,\mathrm {d} t\right]_{\alpha =0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2946be34d55c4fce66f72cf34a9b8e36a2ed3c7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:44.877ex; height:9.676ex;" alt="{\displaystyle -\left.\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\right)\,\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\,\mathrm {d} t\right]_{\alpha =0}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

An den Stellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=t_{a}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=t_{a}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b83ca5cb9daf325bc13bf9a0dc87e0de01a5b69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.88ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t=t_{a}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=t_{e}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=t_{e}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e53a37f8ce94827ecb14d5a7d7a18436898dc66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.776ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t=t_{e}}" loading="lazy"> gelten unabhängig von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> die Bedingungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{\alpha }(t_{a})=x_{a}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{\alpha }(t_{a})=x_{a}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f24a5c22190195b27b0ce77078b24440c4a9650.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.895ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{\alpha }(t_{a})=x_{a}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{\alpha }(t_{e})=x_{e}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{\alpha }(t_{e})=x_{e}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14c7580afa76e8d1369bd6398e8afbcd038e361b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.688ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{\alpha }(t_{e})=x_{e}}" loading="lazy">. Ableiten dieser beiden Konstanten nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> liefert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{\alpha }x_{\alpha }(t_{a})=\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t_{e})=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{\alpha }x_{\alpha }(t_{a})=\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t_{e})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4edaf7f346c3c99bf923e36b6b7800e744dc2af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.022ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial _{\alpha }x_{\alpha }(t_{a})=\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t_{e})=0}" loading="lazy">. Deshalb verschwindet der Term <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\right]_{t=t_{a}}^{t_{e}}}">

<mrow>

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</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\right]_{t=t_{a}}^{t_{e}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a9a10af11e272a928bc299525748d4776399657.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:31.778ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \left[\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\right]_{t=t_{a}}^{t_{e}}}" loading="lazy"> und man erhält nach Zusammenfassen der Integrale und Ausklammern von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{\alpha }x_{\alpha }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{\alpha }x_{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9db39098fe6708d98862a98ef9e5c83009e624dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.132ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \partial _{\alpha }x_{\alpha }}" loading="lazy"> die Gleichung

<msub>

<mrow>

<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</munderover>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=\left[\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}\left(\partial _{2}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\right)\,\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\,\mathrm {d} t\right]_{\alpha =0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/832a40eb56ee84587b72bcf4caa4ed5d260e7fb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:72.08ex; height:9.676ex;" alt="{\displaystyle 0=\left[\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}\left(\partial _{2}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x_{\alpha }(t),{\dot {x}}_{\alpha }(t))\right)\,\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\,\mathrm {d} t\right]_{\alpha =0}}" loading="lazy"></dd></dl>

und mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{\alpha }(t)|_{\alpha =0}=x(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{\alpha }(t)|_{\alpha =0}=x(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1bd1f6f24ed043c6350a94fa227bba89da6298b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.371ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x_{\alpha }(t)|_{\alpha =0}=x(t)}" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}\left(\partial _{2}{\mathcal {L}}\left(t,x\left(t\right),{\dot {x}}\left(t\right)\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\partial _{3}{\mathcal {L}}\left(t,x\left(t\right),{\dot {x}}\left(t\right)\right)\right)\left[\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\right]_{\alpha =0}\,\mathrm {d} t.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74cf5775bd3638bf340d210a5625f43f8bc8c978.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:68.493ex; height:9.343ex;" alt="{\displaystyle 0=\int \limits _{t_{a}}^{t_{e}}\left(\partial _{2}{\mathcal {L}}\left(t,x\left(t\right),{\dot {x}}\left(t\right)\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\partial _{3}{\mathcal {L}}\left(t,x\left(t\right),{\dot {x}}\left(t\right)\right)\right)\left[\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\right]_{\alpha =0}\,\mathrm {d} t.}" loading="lazy"></dd></dl>

Außer zum Anfangszeitpunkt und zum Endzeitpunkt unterliegt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{\alpha }(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{\alpha }(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c9a07848ba4da3e2bfec20ba0202bb908c82302.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.263ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{\alpha }(t)}" loading="lazy"> keinen Einschränkungen. Damit sind die Zeitfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\mapsto \left[\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\right]_{\alpha =0}}">

<msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\mapsto \left[\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\right]_{\alpha =0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/256a743e9eb95acc689c8d784aa1394d54571f30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.913ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle t\mapsto \left[\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t)\right]_{\alpha =0}}" loading="lazy"> bis auf die Bedingungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{\alpha }x_{\alpha }(t_{a})=\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t_{e})=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{\alpha }x_{\alpha }(t_{a})=\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t_{e})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4edaf7f346c3c99bf923e36b6b7800e744dc2af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.022ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial _{\alpha }x_{\alpha }(t_{a})=\partial _{\alpha }x_{\alpha }(t_{e})=0}" loading="lazy"> beliebige zweimal stetig differenzierbare Zeitfunktionen. Die letzte Gleichung kann nach dem <a href="Fundamentallemma_der_Variationsrechnung" title="Fundamentallemma der Variationsrechnung">Fundamentallemma der Variationsrechnung</a> also nur dann für alle zulässigen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[\partial _{\alpha }x_{\alpha }\right]_{\alpha =0}}">

<msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[\partial _{\alpha }x_{\alpha }\right]_{\alpha =0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90b1e0f40d8652eed2e80a387612bba89e37e9d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.811ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \left[\partial _{\alpha }x_{\alpha }\right]_{\alpha =0}}" loading="lazy"> erfüllt sein, wenn der Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \partial _{2}{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))}">

<msub>

</mrow>

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</mrow>

<mover>

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</mrow>

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</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \partial _{2}{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a859d35a915e4e25b7e65c56184ee9c10b123df8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:38.317ex; height:3.843ex;" alt="{\textstyle \partial _{2}{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))}" loading="lazy"> im gesamten Integrationsintervall gleich null ist (das wird in den Bemerkungen etwas detaillierter erläutert). Damit erhält man für die stationäre Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> die Euler-Lagrange-Gleichung

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{2}{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a317470cf108851fb7ea1eba143014bfe31a9455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:43.202ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \partial _{2}{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\partial _{3}{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))=0}" loading="lazy">,</dd></dl>

die für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in (t_{a},t_{e})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in (t_{a},t_{e})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9b95adc1894db32936edcc219023846972787b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.303ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t\in (t_{a},t_{e})}" loading="lazy"> erfüllt sein muss.

Die angegebene, zum Verschwinden zu bringende Größe bezeichnet man auch als Eulerableitung der Lagrangefunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9027196ecb178d598958555ea01c43157d83597c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.604ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}}" loading="lazy">,

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mover>

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</mrow>

<mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {{\hat {\partial }}{\mathcal {L}}}{{\hat {\partial }}x}}(t):=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}(t,x,{\dot {x}})}{\partial x}}\right|_{(t,x(t),{\dot {x}}(t))}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\,\left(\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}(t,x,{\dot {x}})}{\partial {\dot {x}}}}\right|_{(t,x(t),{\dot {x}}(t))}\right)\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a83ea97ff77ca7c317a35acc418a97e667640f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:62.874ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {{\hat {\partial }}{\mathcal {L}}}{{\hat {\partial }}x}}(t):=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}(t,x,{\dot {x}})}{\partial x}}\right|_{(t,x(t),{\dot {x}}(t))}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\,\left(\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}(t,x,{\dot {x}})}{\partial {\dot {x}}}}\right|_{(t,x(t),{\dot {x}}(t))}\right)\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Vor allem in Physikbüchern wird die Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left.\partial _{\alpha }\right|_{\alpha =0}}">

<msub>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.\partial _{\alpha }\right|_{\alpha =0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c4b776fc0144b08fe7e33f3a4a085a0a0e4746e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.55ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \left.\partial _{\alpha }\right|_{\alpha =0}}" loading="lazy"> als Variation bezeichnet. Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta x=\left.\partial _{\alpha }x_{\alpha }\right|_{\alpha =0}}">

<msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta x=\left.\partial _{\alpha }x_{\alpha }\right|_{\alpha =0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a14159df1da7363109e384ee7b3d39cc1d9a18a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.641ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \delta x=\left.\partial _{\alpha }x_{\alpha }\right|_{\alpha =0}}" loading="lazy"> die Variation von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">. Die Variation der Wirkung

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta I(x,\delta x)=\int {\frac {\delta I}{\delta x(t)}}\delta x(t)\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ef9cd452cf98e305c721f6af084817415b3cbba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:27.861ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \delta I(x,\delta x)=\int {\frac {\delta I}{\delta x(t)}}\delta x(t)\,\mathrm {d} t}" loading="lazy"></dd></dl>

ist wie bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i}(\partial _{i}f)\mathrm {d} x^{i}}">

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i}(\partial _{i}f)\mathrm {d} x^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dde6382fd88611f2c801a37927a963f4cd750daa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.467ex; height:3.176ex;" alt="{\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i}(\partial _{i}f)\mathrm {d} x^{i}}" loading="lazy"> eine Linearform in den Variationen der Argumente, ihre Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle {\frac {\delta I}{\delta x(t)}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle {\frac {\delta I}{\delta x(t)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7510073153eb903680f2307c58ba51e643e39694.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:4.391ex; height:4.343ex;" alt="{\textstyle {\frac {\delta I}{\delta x(t)}}}" loading="lazy"> heißen <a href="Variationsableitung" class="mw-redirect" title="Variationsableitung">Variationsableitung</a> des Funktionals <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy">. Sie ist im betrachteten Fall die Eulerableitung der Lagrangefunktion

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\delta I}{\delta x(t)}}={\frac {{\hat {\partial }}{\mathcal {L}}}{{\hat {\partial }}x}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf66ea9de58d7ba6870e711a3e3e933e63bf348e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:15.539ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\delta I}{\delta x(t)}}={\frac {{\hat {\partial }}{\mathcal {L}}}{{\hat {\partial }}x}}(t)}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Bemerkungen">Bemerkungen</h4></div>

Bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung wurde berücksichtigt, dass eine stetige Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">, die für alle mindestens zweimal stetig differenzierbaren Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,b(t_{a})=b(t_{e})=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,b(t_{a})=b(t_{e})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01a999545ce4a3af82073c60b649c91b896ccb9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.14ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,b(t_{a})=b(t_{e})=0}" loading="lazy"> bei Integration über

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{t_{a}}^{t_{e}}a(t)b(t)\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c60d8fa1b1c887215bdfac329d5ffa6793b03ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:14.508ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \int _{t_{a}}^{t_{e}}a(t)b(t)\,\mathrm {d} t}" loading="lazy"></dd></dl>

den Wert null ergibt, identisch gleich null sein muss.

Das ist leicht einzusehen, wenn man berücksichtigt, dass es zum Beispiel mit

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b(t):={\begin{cases}0&{\text{für }}t\leq t_{0}-\epsilon {\text{ oder }}t\geq t_{0}+\epsilon \\(t-t_{0}+\epsilon )^{3}(t_{0}-t+\epsilon )^{3}&{\text{für }}t\in (t_{0}-\epsilon ,t_{0}+\epsilon )\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9e2cfda7dd5ecc0b939de43a4bdc0724827a56b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:65.197ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle b(t):={\begin{cases}0&{\text{für }}t\leq t_{0}-\epsilon {\text{ oder }}t\geq t_{0}+\epsilon \\(t-t_{0}+\epsilon )^{3}(t_{0}-t+\epsilon )^{3}&{\text{für }}t\in (t_{0}-\epsilon ,t_{0}+\epsilon )\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion gibt, die in einer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3837cad72483d97bcdde49c85d3b7b859fb3fd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.944ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \epsilon }" loading="lazy">-Umgebung eines willkürlich herausgegriffenen Zeitpunktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}\in (t_{a},t_{e})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}\in (t_{a},t_{e})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/403e3d50a30e26d480c9aa716f769588100ef685.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.357ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t_{0}\in (t_{a},t_{e})}" loading="lazy"> positiv und ansonsten null ist. Gäbe es eine Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}" loading="lazy">, an der die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> größer oder kleiner null wäre, so wäre sie aufgrund der Stetigkeit auch noch in einer ganzen Umgebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (t_{0}-\epsilon ,t_{0}+\epsilon )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (t_{0}-\epsilon ,t_{0}+\epsilon )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6018b4653022ad6133240212a57717787ac58d73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.2ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (t_{0}-\epsilon ,t_{0}+\epsilon )}" loading="lazy"> dieser Stelle größer bzw. kleiner null. Mit der eben definierten Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> ist dann jedoch das Integral <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}a(t)b(t)\,\mathrm {d} t}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}a(t)b(t)\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7738c2fa67c6990dfe17f6833252c8fa53158cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; margin-left: -0.176ex; width:12.214ex; height:6.843ex;" alt="{\textstyle \int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}a(t)b(t)\,\mathrm {d} t}" loading="lazy"> im Widerspruch zur Voraussetzung an <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ebenfalls größer bzw. kleiner null. Die Annahme, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> an einer Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}" loading="lazy"> ungleich null wäre, ist also falsch. Die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ist also wirklich identisch gleich null.

Ist der Funktionenraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ein <a href="Affiner_Raum" title="Affiner Raum">affiner Raum</a>, so wird die Familie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/500983860ea85f72043d1716a91dc513eb4b92e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.154ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in (-\epsilon ,\epsilon )}}" loading="lazy"> in der Literatur oftmals als Summe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{\alpha }(t):=x(t)+\alpha h(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{\alpha }(t):=x(t)+\alpha h(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8356587640cddd74cb12c3fd66ab2cf2de9a7095.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.303ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{\alpha }(t):=x(t)+\alpha h(t)}" loading="lazy"> mit einer frei wählbaren Zeitfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> festgelegt, die der Bedingung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h(t_{a})=h(t_{e})=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h(t_{a})=h(t_{e})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a2d99064b25534e5ea1c43f1a6ebaa18468077e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.435ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h(t_{a})=h(t_{e})=0}" loading="lazy"> genügen muss. Die Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left.\partial _{\alpha }I(x_{\alpha })\right|_{\alpha =0}}">

<msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.\partial _{\alpha }I(x_{\alpha })\right|_{\alpha =0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c38bab5ffb5bfd7ad504feb7c03728e9b163d65a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.145ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \left.\partial _{\alpha }I(x_{\alpha })\right|_{\alpha =0}}" loading="lazy"> ist dann gerade die <a href="Gateaux-Ableitung" class="mw-redirect" title="Gateaux-Ableitung">Gateaux-Ableitung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left.\partial _{\alpha }I(x+\alpha h)\right|_{\alpha =0}}">

<msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.\partial _{\alpha }I(x+\alpha h)\right|_{\alpha =0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b001c12776b1a88e4e301505eb5157ee8134defa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.528ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \left.\partial _{\alpha }I(x+\alpha h)\right|_{\alpha =0}}" loading="lazy"> des Funktionals <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> in Richtung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy">. Die hier vorgestellte Version erscheint dem Autor etwas günstiger, wenn die Funktionenmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> kein affiner Raum mehr ist (wenn sie beispielsweise durch eine nichtlineare Nebenbedingung eingeschränkt ist; siehe etwa <a href="Prinzip_des_kleinsten_Zwanges" title="Prinzip des kleinsten Zwanges">gaußsches Prinzip des kleinsten Zwanges</a>). Sie ist ausführlicher bei Smirnow<a href="#cite_note-25">[25]</a> dargestellt und lehnt sich an die Definition von <a href="Tangentialvektor" class="mw-redirect" title="Tangentialvektor">Tangentialvektoren</a> an Mannigfaltigkeiten an.<a href="#cite_note-26">[26]</a>

Im Falle eines weiteren, einschränkenden Funktionals <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle J(x)=\int j(t,x,{\dot {x}},{\ddot {x}},\dots ,x^{(n)})d^{d}t}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle J(x)=\int j(t,x,{\dot {x}},{\ddot {x}},\dots ,x^{(n)})d^{d}t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/663835cfa1312b8891747ebab45b763162678519.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:32.367ex; height:3.343ex;" alt="{\textstyle J(x)=\int j(t,x,{\dot {x}},{\ddot {x}},\dots ,x^{(n)})d^{d}t}" loading="lazy">, der den Funktionenraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> dadurch einschränkt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J(x)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(x)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a1ea17a6ba74ffe226bca76db3da3b66616174c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.871ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle J(x)=0}" loading="lazy"> gelten soll, kann man analog zum reellen Fall das Verfahren der <a href="Lagrange-Multiplikator" title="Lagrange-Multiplikator">Lagrange-Multiplikatoren</a> anwenden:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\delta I}{\delta x_{i}}}=\lambda {\frac {\delta J}{\delta x_{i}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb56b2076f90cb95fcf8dcf996c2536284286df2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.482ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\delta I}{\delta x_{i}}}=\lambda {\frac {\delta J}{\delta x_{i}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

für beliebiges <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,\dotsc ,n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,\dotsc ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7f2132430a61b900cf2c4380774394ca9f09c8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.636ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,\dotsc ,n}" loading="lazy"> und ein festes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b87bc1622689bc998795834cd65eecdb4955a785.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.874ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verallgemeinerung_für_höhere_Ableitung_und_Dimensionen">Verallgemeinerung für höhere Ableitung und Dimensionen</h3></div>

Die obige Herleitung mittels partieller Integration lässt sich auf Variationsprobleme der Art

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I(\varphi )=\int {\mathcal {L}}(\varphi (x),\partial _{1}\varphi (x),\dots ,\partial _{d}\varphi (x),\dots )\mathrm {d} ^{d}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78e61cb56d494b73dc7a6acb95a089dae4e48b03.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:45.87ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle I(\varphi )=\int {\mathcal {L}}(\varphi (x),\partial _{1}\varphi (x),\dots ,\partial _{d}\varphi (x),\dots )\mathrm {d} ^{d}x}" loading="lazy"></dd></dl>

übertragen, wobei in den Abhängigkeiten Ableitungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D^{\alpha }\varphi (x)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D^{\alpha }\varphi (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66db02210011de46292c4970a1fdf62f8445f9c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.868ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D^{\alpha }\varphi (x)}" loading="lazy"> (siehe <a href="Multiindex" title="Multiindex">Multiindex-Notation</a>) auch höherer Ordnung auftauchen, etwa bis zur Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vert \alpha \vert \leq N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vert \alpha \vert \leq N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ec5d67eaf5d94b97aa44437e688a13006e597ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.943ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \vert \alpha \vert \leq N}" loading="lazy">. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D^{\alpha }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D^{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/346ffaf97bb2e947e9dfcb633d99001b4b191254.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.208ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle D^{\alpha }}" loading="lazy"> ist gerade der <a href="Differentialoperator" title="Differentialoperator">Differentialoperator</a>. In diesem Fall lautet die Euler-Lagrange-Gleichung:

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{\vert \alpha \vert \leq N}(-1)^{\vert \alpha \vert }D^{\alpha }{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta (D^{\alpha }\varphi (x))}}=0,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e26b0142876667428eeaa9f95a44eb8f7742861.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:31.361ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{\vert \alpha \vert \leq N}(-1)^{\vert \alpha \vert }D^{\alpha }{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta (D^{\alpha }\varphi (x))}}=0,}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei die Euler-Ableitung als

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta (D^{\alpha }\varphi (x))}}:=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (D^{\alpha }\varphi )}}\right\vert _{\varphi =\varphi (x),\partial _{1}\varphi =\partial _{1}\varphi (x),\dots }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/426bf862b8eb7001fc34bc17e5550ad12dcc7120.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:42.423ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta (D^{\alpha }\varphi (x))}}:=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (D^{\alpha }\varphi )}}\right\vert _{\varphi =\varphi (x),\partial _{1}\varphi =\partial _{1}\varphi (x),\dots }}" loading="lazy"></dd></dl>

zu verstehen ist. Hierbei sind in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D^{\alpha }\varphi }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D^{\alpha }\varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/965a0bf1ffb09550ead4c96bf0fa817cf30bdb90.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.729ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D^{\alpha }\varphi }" loading="lazy"> in selbsterklärender Weise symbolisch die entsprechende Abhängigkeit von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9027196ecb178d598958555ea01c43157d83597c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.604ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}}" loading="lazy"> repräsentiert, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D^{\alpha }\varphi (x)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D^{\alpha }\varphi (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66db02210011de46292c4970a1fdf62f8445f9c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.868ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D^{\alpha }\varphi (x)}" loading="lazy"> steht für den konkreten Wert der Ableitung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c4046f1f2de7df04bde418ba2bc4d3898ac2385.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.659ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x)}" loading="lazy">. Insbesondere wird auch über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30cc00f65bbc630448311dd2dc82e7ce5e90985a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =0}" loading="lazy"> summiert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Weiterführende_Verallgemeinerungen">Weiterführende Verallgemeinerungen</h3></div>

Verallgemeinerungen für mehrere Funktionen, Dimensionen und auf <a href="Mannigfaltigkeit" title="Mannigfaltigkeit">Mannigfaltigkeiten</a> können gemacht werden. In diesem Zusammenhang ist es günstig, einen sog. Euler-Operator einzuführen und davon gebrauch zu machen, wobei verschiedene Ansätze für den Operator existieren.<a href="#cite_note-27">[27]</a><a href="#cite_note-28">[28]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Banachraum" title="Banachraum">Banachraum</a></li>

<li><a href="Ginsburg-Landau-Theorie" title="Ginsburg-Landau-Theorie">Ginzburg-Landau-Theorie</a> (vgl. auch <a href="Landau-Theorie" title="Landau-Theorie">Landau-Theorie</a>)</li>

<li><a href="Hamilton-Jacobi-Formalismus" title="Hamilton-Jacobi-Formalismus">Hamilton-Jacobi-Formalismus</a></li>

<li><a href="Schwingers_Quantenwirkungsprinzip" title="Schwingers Quantenwirkungsprinzip">Schwingers Quantenwirkungsprinzip</a></li>

<li><a href="Variation_der_Elemente" title="Variation der Elemente">Variation der Elemente</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Journale_&_andere_Beiträge">Journale & andere Beiträge</h3></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.springer.com/journal/526">Calculus of Variations and Partial Differential Equations</a> (<a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%221432-0835%22&key=cql">1432-0835</a>)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.degruyter.com/journal/key/acv/html">Advances in Calculus of Variations</a> (<a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%221864-8266%22&key=cql">1864-8266</a>)</li>

<li>Alessio Figalli, Robert V. Kohn, Tatiana Toro, Neshan Wickramasekera: <cite style="font-style:italic">Calculus of Variations</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Oberwolfach Reports</cite>. Band 17, Nr. 2, 1. Juli 2021, S. 1139–1196, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.4171/owr%2F2020%2F22">10.4171/owr/2020/22</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=Calculus+of+Variations&rft.au=Alessio+Figalli%2C+Robert+V.+Kohn%2C+Tatiana+Toro%2C+...&rft.date=2021-07-01&rft.doi=10.4171%2Fowr%2F2020%2F22&rft.genre=journal&rft.issue=2&rft.jtitle=Oberwolfach+Reports&rft.pages=1139-1196&rft.volume=17" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schools_&_Workshops">Schools & Workshops</h3></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://appliedmath.univie.ac.at/public/second_austrian_calculus_of_variations_day/">2nd Austrian Calculus of Variations Day</a> (2022) – <a href="Universit%C3%A4t_Wien" title="Universität Wien">Universität Wien</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://sites.google.com/unifi.it/advcalcvar2022/home-page">Advances in Calculus of Variations</a> (2022) – Verschiedene Sponsoren</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://sites.google.com/view/tcvpde-2022/home">Trends in Calculus of Variations and PDEs</a> (2022) – <a href="University_of_Sussex" title="University of Sussex">University of Sussex</a>, <a href="Universit%C3%A4t_Gent" title="Universität Gent">Universität Gent</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Moderne_Lehrbücher">Moderne Lehrbücher</h3></div>

<ul><li>Hansjörg Kielhöfer: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Calculus of Variations</cite> (= <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Texts in Applied Mathematics</cite>. Band 67). Springer International Publishing, Cham 2018, ISBN 978-3-319-71122-5, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-319-71123-2">10.1007/978-3-319-71123-2</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Hansj%C3%B6rg+Kielh%C3%B6fer&rft.btitle=Calculus+of+Variations&rft.date=2018&rft.doi=10.1007%2F978-3-319-71123-2&rft.genre=book&rft.isbn=9783319711225&rft.place=Cham&rft.pub=Springer+International+Publishing&rft.series=Texts+in+Applied+Mathematics" style="display:none"> </li>

<li>Francis Clarke: <cite style="font-style:italic">Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control</cite> (= <cite style="font-style:italic"><a href="Graduate_Texts_in_Mathematics" title="Graduate Texts in Mathematics">Graduate Texts in Mathematics</a></cite>. Band 264). Springer, London 2013, ISBN 978-1-4471-4819-7, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-1-4471-4820-3">10.1007/978-1-4471-4820-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Francis+Clarke&rft.btitle=Functional+Analysis%2C+Calculus+of+Variations+and+Optimal+Control&rft.date=2013&rft.doi=10.1007%2F978-1-4471-4820-3&rft.genre=book&rft.isbn=9781447148197&rft.place=London&rft.pub=Springer&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Monografien">Monografien</h3></div>

<ul><li>Philippe Blanchard, Erwin Brüning: <cite style="font-style:italic">Direkte Methoden der Variationsrechnung</cite>. Springer, Vienna 1982, ISBN 978-3-7091-2261-7, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2260-0">10.1007/978-3-7091-2260-0</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Philippe+Blanchard%2C+Erwin+Br%C3%BCning&rft.btitle=Direkte+Methoden+der+Variationsrechnung&rft.date=1982&rft.doi=10.1007%2F978-3-7091-2260-0&rft.genre=book&rft.isbn=9783709122617&rft.place=Vienna&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li><a href="Mariano_Giaquinta" title="Mariano Giaquinta">Mariano Giaquinta</a>, <a href="Stefan_Hildebrandt" title="Stefan Hildebrandt">Stefan Hildebrandt</a>: <cite style="font-style:italic">Calculus of Variations I</cite> (= A. Chenciner u. a. [Hrsg.]: <cite style="font-style:italic"><a href="Grundlehren_der_mathematischen_Wissenschaften" title="Grundlehren der mathematischen Wissenschaften">Grundlehren der mathematischen Wissenschaften</a></cite>. Band 310). Springer, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 978-3-642-08074-6, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-03278-7">10.1007/978-3-662-03278-7</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Mariano+Giaquinta%2C+Stefan+Hildebrandt&rft.btitle=Calculus+of+Variations+I&rft.date=2004&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-03278-7&rft.genre=book&rft.isbn=9783642080746&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer&rft.series=Grundlehren+der+mathematischen+Wissenschaften" style="display:none"> </li>

<li><a href="Mariano_Giaquinta" title="Mariano Giaquinta">Mariano Giaquinta</a>, <a href="Stefan_Hildebrandt" title="Stefan Hildebrandt">Stefan Hildebrandt</a>: <cite style="font-style:italic">Calculus of Variations II</cite> (= A. Chenciner u. a. [Hrsg.]: <cite style="font-style:italic"><a href="Grundlehren_der_mathematischen_Wissenschaften" title="Grundlehren der mathematischen Wissenschaften">Grundlehren der mathematischen Wissenschaften</a></cite>. Band 311). Springer, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 978-3-642-08192-7, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-06201-2">10.1007/978-3-662-06201-2</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Mariano+Giaquinta%2C+Stefan+Hildebrandt&rft.btitle=Calculus+of+Variations+II&rft.date=2004&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-06201-2&rft.genre=book&rft.isbn=9783642081927&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer&rft.series=Grundlehren+der+mathematischen+Wissenschaften" style="display:none"> </li>

<li><a href="J%C3%BCrgen_Jost" title="Jürgen Jost">Jürgen Jost</a>, Xianqing Li-Jost: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Calculus of variations</cite> (= <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Cambridge studies in advanced mathematics</cite>. Band 64). 1. publ Auflage. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-05712-7 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=J%C3%BCrgen+Jost%2C+Xianqing+Li-Jost&rft.btitle=Calculus+of+variations&rft.date=1998&rft.edition=1.+publ&rft.genre=book&rft.isbn=9780521057127&rft.place=Cambridge&rft.pub=Cambridge+Univ.+Press&rft.series=Cambridge+studies+in+advanced+mathematics" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Klassische_und_historische_Werke">Klassische und historische Werke</h3></div>

<ul><li><a href="Oskar_Bolza" title="Oskar Bolza">Oskar Bolza</a>: Vorlesungen über Variationsrechnung. B. G. Teubner, Leipzig u. a. 1909, (<a href="https://archive.org/details/vorlesungenuberv028879mbp" class="extiw external" title="iarchive:vorlesungenuberv028879mbp">Digitalisat</a>). Dover 2018 (englisch).</li>

<li><a href="Paul_Funk_(Mathematiker)" title="Paul Funk (Mathematiker)">Paul Funk</a>: <cite style="font-style:italic">Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik</cite>. Springer, Berlin/Heidelberg 1970, ISBN 978-3-642-88598-3, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-88597-6">10.1007/978-3-642-88597-6</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Paul+Funk&rft.btitle=Variationsrechnung+und+ihre+Anwendung+in+Physik+und+Technik&rft.date=1970&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-88597-6&rft.genre=book&rft.isbn=9783642885983&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li><a href="Israel_Moissejewitsch_Gelfand" title="Israel Moissejewitsch Gelfand">I. M. Gelfand</a>, <a href="Sergei_Wassiljewitsch_Fomin" title="Sergei Wassiljewitsch Fomin">S. W. Fomin</a>: <cite style="font-style:italic">Calculus of variations</cite>. Dover Publications, Mineola, NY 2000, ISBN 978-0-486-41448-5 (Originaltitel: <cite style="font-style:italic">Calculus of variations</cite>. 1963. Übersetzt von Richard A. Silverman).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=I.+M.+Gelfand%2C+S.+W.+Fomin&rft.btitle=Calculus+of+variations&rft.date=2000&rft.genre=book&rft.isbn=9780486414485&rft.place=Mineola%2C+NY&rft.pub=Dover+Publications" style="display:none"> </li>

<li><a href="Richard_Courant" title="Richard Courant">Richard Courant</a>: <cite style="font-style:italic">Methoden der mathematischen Physik 1</cite>. 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin 1968, IV Die Grundtatsachen der Variationsrechnung, S. 139–233 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/?PPN=PPN38067226X">uni-goettingen.de</a> – 3. Auflage von 1968 beruht auf den neu bearbeiteten englischen Ausgaben 1953, 1961 / online ist das Werk in der Version von 1924 verfügbar).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=IV+Die+Grundtatsachen+der+Variationsrechnung&rft.au=Richard+Courant&rft.btitle=Methoden+der+mathematischen+Physik+1&rft.date=1968&rft.edition=3&rft.genre=bookitem&rft.pages=139-233&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </li>

<li><a href="Adolf_Kneser" title="Adolf Kneser">Adolf Kneser</a>: Variationsrechnung. In: <a href="Encyklop%C3%A4die_der_mathematischen_Wissenschaften_mit_Einschluss_ihrer_Anwendungen" class="mw-redirect" title="Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen">Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen</a>. Band 2: Analysis. Teil 1. B. G. Teubner, Leipzig 1898, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN36050616X?tify=%7B%22pages%22%3A%5B593%5D%2C%22pan%22%3A%7B%22x%22%3A0.416%2C%22y%22%3A0.828%7D%2C%22view%22%3A%22info%22%2C%22zoom%22%3A0.301%7D">S. 571–625</a>.</li>

<li><a href="Solomon_Grigorjewitsch_Michlin" title="Solomon Grigorjewitsch Michlin">S. G. Michlin</a>: <cite style="font-style:italic">Variationsmethoden der mathematischen Physik</cite>. Akademie-Verlag, Berlin 1962.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=S.+G.+Michlin&rft.btitle=Variationsmethoden+der+mathematischen+Physik&rft.date=1962&rft.genre=book&rft.place=Berlin&rft.pub=Akademie-Verlag" style="display:none"> </li>

<li><a href="Paul_St%C3%A4ckel" title="Paul Stäckel">Paul Stäckel</a> (Hrsg.): Abhandlungen über Variations-Rechnung. 2 Theile. Wilhelm Engelmann, Leipzig 1894;

<ul><li>Theil 1: Abhandlungen von Joh. Bernoulli (1696), Jac. Bernoulli (1697) und Leonhard Euler (1744) (= Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften. 46, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220232-3419%22&key=cql">0232-3419</a>). 1894, (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/stream/abhandlungenber01jacogoog#page/n3/mode/2up">Digitalisat</a>);</li>

<li>Theil 2: Abhandlungen von Lagrange (1762, 1770), Legendre (1786), und Jacobi (1837) (= Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften. 47). 1894, (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/stream/abhandlungenber02jacogoog#page/n3/mode/2up">Digitalisat</a>).</li></ul></li>

<li><a href="Friedrich_Stegmann" title="Friedrich Stegmann">Friedrich Stegmann</a>; Lehrbuch der Variationsrechnung und ihrer Anwendung bei Untersuchungen über das Maximum und Minimum. Kassel, Luckhardt, 1854.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Jeremy Gray: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Change and Variations: A History of Differential Equations to 1900</cite> (= <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Springer Undergraduate Mathematics Series</cite>). Springer International Publishing, Cham 2021, ISBN 978-3-03070574-9, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-030-70575-6">10.1007/978-3-030-70575-6</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Jeremy+Gray&rft.btitle=Change+and+Variations%3A+A+History+of+Differential+Equations+to+1900&rft.date=2021&rft.doi=10.1007%2F978-3-030-70575-6&rft.genre=book&rft.isbn=9783030705749&rft.place=Cham&rft.pub=Springer+International+Publishing&rft.series=Springer+Undergraduate+Mathematics+Series" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <cite style="font-style:italic">Mathematik für Physiker 2</cite> (= <cite style="font-style:italic">Springer-Lehrbuch</cite>). Springer, Berlin/Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-72251-9, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-540-72252-6">10.1007/978-3-540-72252-6</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.btitle=Mathematik+f%C3%BCr+Physiker+2&rft.date=2007&rft.doi=10.1007%2F978-3-540-72252-6&rft.genre=book&rft.isbn=9783540722519&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer&rft.series=Springer-Lehrbuch" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Hubert Goldschmidt, Shlomo Sternberg: <cite style="font-style:italic">The Hamilton-Cartan formalism in the calculus of variations</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Annales de l’institut Fourier</cite>. Band 23, Nr. 1, 1973, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220373-0956%22&key=cql">0373-0956</a>, S. 203–267, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.5802/aif.451">10.5802/aif.451</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1973__23_1_203_0/">centre-mersenne.org</a> [abgerufen am 21. Oktober 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=The+Hamilton-Cartan+formalism+in+the+calculus+of+variations&rft.au=Hubert+Goldschmidt%2C+Shlomo+Sternberg&rft.date=1973&rft.doi=10.5802%2Faif.451&rft.genre=journal&rft.issn=0373-0956&rft.issue=1&rft.jtitle=Annales+de+l%E2%80%99institut+Fourier&rft.pages=203-267&rft.volume=23" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Vladimir I. Pupyshev, H. E. Montgomery: <cite style="font-style:italic">Some problems in applications of the linear variational method</cite>. In: <cite style="font-style:italic">European Journal of Physics</cite>. Band 36, Nr. 5, 1. September 2015, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220143-0807%22&key=cql">0143-0807</a>, S. 055043, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1088/0143-0807%2F36%2F5%2F055043">10.1088/0143-0807/36/5/055043</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=Some+problems+in+applications+of+the+linear+variational+method&rft.au=Vladimir+I.+Pupyshev%2C+H.+E.+Montgomery&rft.date=2015-09-01&rft.doi=10.1088%2F0143-0807%2F36%2F5%2F055043&rft.genre=journal&rft.issn=0143-0807&rft.issue=5&rft.jtitle=European+Journal+of+Physics&rft.pages=055043&rft.volume=36" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> E. Noether, M. A. Tavel: <cite style="font-style:italic">Invariant Variation Problems</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Transport Theory and Statistical Physics</cite>. Band 1, Nr. 3, Januar 1971, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220041-1450%22&key=cql">0041-1450</a>, S. 186–207, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1080/00411457108231446">10.1080/00411457108231446</a>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/physics/0503066">physics/0503066</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=Invariant+Variation+Problems&rft.au=E.+Noether%2C+M.+A.+Tavel&rft.date=1971-01&rft.doi=10.1080%2F00411457108231446&rft.genre=journal&rft.issn=0041-1450&rft.issue=3&rft.jtitle=Transport+Theory+and+Statistical+Physics&rft.pages=186-207&rft.volume=1" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Philippe Blanchard, Erwin Brüning: <cite style="font-style:italic">Klassische Variationsprobleme</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Direkte Methoden der Variationsrechnung</cite>. Springer Vienna, Wien 1982, ISBN 978-3-7091-2261-7, S. 74–124, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2260-0_6">10.1007/978-3-7091-2260-0_6</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=Klassische+Variationsprobleme&rft.au=Philippe+Blanchard%2C+Erwin+Br%C3%BCning&rft.btitle=Direkte+Methoden+der+Variationsrechnung&rft.date=1982&rft.doi=10.1007%2F978-3-7091-2260-0_6&rft.genre=book&rft.isbn=9783709122617&rft.pages=74-124&rft.place=Wien&rft.pub=Springer+Vienna" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://abelprize.no/abel-prize-laureates/2019">The Abel Prize. 2019: Karen Keskulla Uhlenbeck.</a> Abgerufen am 18. Oktober 2022.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AVariationsrechnung&rft.title=The+Abel+Prize.+2019%3A+Karen+Keskulla+Uhlenbeck&rft.description=The+Abel+Prize.+2019%3A+Karen+Keskulla+Uhlenbeck&rft.identifier=https%3A%2F%2Fabelprize.no%2Fabel-prize-laureates%2F2019">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Simon Donaldson: <cite style="font-style:italic">Karen Uhlenbeck and the Calculus of Variations</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Notices of the American Mathematical Society</cite>. Band 66, Nr. 03, 1. März 2019, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220002-9920%22&key=cql">0002-9920</a>, S. 1, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1090/noti1806">10.1090/noti1806</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ams.org/journals/notices/201903/rnoti-p303.pdf">ams.org</a> [PDF; abgerufen am 18. Oktober 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=Karen+Uhlenbeck+and+the+Calculus+of+Variations&rft.au=Simon+Donaldson&rft.date=2019-03-01&rft.doi=10.1090%2Fnoti1806&rft.genre=journal&rft.issn=0002-9920&rft.issue=03&rft.jtitle=Notices+of+the+American+Mathematical+Society&rft.pages=1&rft.volume=66" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> <a href="Richard_Courant" title="Richard Courant">Richard Courant</a>, <a href="Herbert_Robbins" title="Herbert Robbins">Herbert Robbins</a>: <cite style="font-style:italic">Siebentes Kapitel. Maxima und Minima</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Was ist Mathematik?</cite> Springer, Berlin/Heidelberg 2001, ISBN 978-3-642-13700-6, S. 251–301, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-13701-3_7">10.1007/978-3-642-13701-3_7</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=Siebentes+Kapitel.+Maxima+und+Minima&rft.au=Richard+Courant%2C+Herbert+Robbins&rft.btitle=Was+ist+Mathematik%3F&rft.date=2001&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-13701-3_7&rft.genre=book&rft.isbn=9783642137006&rft.pages=251-301&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Weierstrass_conditions_(for_a_variational_extremum)">Weierstrass conditions (for a variational extremum) – Encyclopedia of Mathematics.</a> Abgerufen am 19. Oktober 2022.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AVariationsrechnung&rft.title=Weierstrass+conditions+%28for+a+variational+extremum%29+%E2%80%93+Encyclopedia+of+Mathematics&rft.description=Weierstrass+conditions+%28for+a+variational+extremum%29+%E2%80%93+Encyclopedia+of+Mathematics&rft.identifier=https%3A%2F%2Fencyclopediaofmath.org%2Fwiki%2FWeierstrass_conditions_%28for_a_variational_extremum%29">

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Weierstrass-Erdmann_corner_conditions">Weierstrass-Erdmann corner conditions – Encyclopedia of Mathematics.</a> Abgerufen am 19. Oktober 2022.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AVariationsrechnung&rft.title=Weierstrass-Erdmann+corner+conditions+%E2%80%93+Encyclopedia+of+Mathematics&rft.description=Weierstrass-Erdmann+corner+conditions+%E2%80%93+Encyclopedia+of+Mathematics&rft.identifier=https%3A%2F%2Fencyclopediaofmath.org%2Fwiki%2FWeierstrass-Erdmann_corner_conditions">

</li>

<li id="cite_note-:0-12">↑ <a href="#cite_ref-:0_12-0">a</a> <a href="#cite_ref-:0_12-1">b</a> <a href="#cite_ref-:0_12-2">c</a> <a href="#cite_ref-:0_12-3">d</a> <a href="#cite_ref-:0_12-4">e</a> Hansjörg Kielhöfer: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Calculus of Variations</cite> (= <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Texts in Applied Mathematics</cite>. Texts in Applied Mathematics). Band 67. Springer International Publishing, Cham 2018, ISBN 978-3-319-71122-5, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-319-71123-2">10.1007/978-3-319-71123-2</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Hansj%C3%B6rg+Kielh%C3%B6fer&rft.btitle=Calculus+of+Variations&rft.date=2018&rft.doi=10.1007%2F978-3-319-71123-2&rft.genre=book&rft.isbn=9783319711225&rft.place=Cham&rft.pub=Springer+International+Publishing&rft.series=Texts+in+Applied+Mathematics&rft.volume=67" style="display:none">

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<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Peter Steinke: <cite style="font-style:italic">Einleitung</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Finite-Elemente-Methode: Rechnergestützte Einführung</cite>. Springer, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 978-3-662-07240-0, S. 1–11, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-07240-0_1">10.1007/978-3-662-07240-0_1</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=Einleitung&rft.au=Peter+Steinke&rft.btitle=Finite-Elemente-Methode%3A+Rechnergest%C3%BCtzte+Einf%C3%BChrung&rft.date=2004&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-07240-0_1&rft.genre=book&rft.isbn=9783662072400&rft.pages=1-11&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> G. Sardanashvily: <cite style="font-style:italic">Classical field theory. Advanced mathematical formulation</cite>. In: <cite style="font-style:italic">International Journal of Geometric Methods in Modern Physics</cite>. Band 05, Nr. 07, November 2008, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220219-8878%22&key=cql">0219-8878</a>, S. 1163–1189, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1142/S0219887808003247">10.1142/S0219887808003247</a>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/0811.0331">0811.0331 [abs]</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=Classical+field+theory.+Advanced+mathematical+formulation&rft.au=G.+Sardanashvily&rft.date=2008-11&rft.doi=10.1142%2FS0219887808003247&rft.genre=journal&rft.issn=0219-8878&rft.issue=07&rft.jtitle=International+Journal+of+Geometric+Methods+in+Modern+Physics&rft.pages=1163-1189&rft.volume=05" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> <a href="Michael_Struwe" title="Michael Struwe">Michael Struwe</a>: <cite style="font-style:italic">Plateau’s Problem and the Calculus of Variations. (MN-35)</cite>. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-1-4008-6021-0, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1515/9781400860210">10.1515/9781400860210</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Michael+Struwe&rft.btitle=Plateau%E2%80%99s+Problem+and+the+Calculus+of+Variations.+%28MN-35%29&rft.date=1989-12-31&rft.doi=10.1515%2F9781400860210&rft.genre=book&rft.isbn=9781400860210&rft.pub=Princeton+University+Press" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> <a href="Michael_Struwe" title="Michael Struwe">Michael Struwe</a>: <cite style="font-style:italic">Variational Methods</cite>. Band 34. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-74012-4, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-540-74013-1">10.1007/978-3-540-74013-1</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Michael+Struwe&rft.btitle=Variational+Methods&rft.date=2008&rft.doi=10.1007%2F978-3-540-74013-1&rft.genre=book&rft.isbn=9783540740124&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer&rft.volume=34" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> <a href="J%C3%BCrgen_Jost" title="Jürgen Jost">Jürgen Jost</a>: <cite style="font-style:italic">The Dirichlet Principle. Variational Methods for the Solution of PDEs (Existence Techniques III)</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Partial Differential Equations</cite>. Springer, New York, NY 2013, ISBN 978-1-4614-4809-9, S. 215–253, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-1-4614-4809-9_10">10.1007/978-1-4614-4809-9_10</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=The+Dirichlet+Principle.+Variational+Methods+for+the+Solution+of+PDEs+%28Existence+Techniques+III%29&rft.au=J%C3%BCrgen+Jost&rft.btitle=Partial+Differential+Equations&rft.date=2013&rft.doi=10.1007%2F978-1-4614-4809-9_10&rft.genre=book&rft.isbn=9781461448099&rft.pages=215-253&rft.place=New+York%2C+NY&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Kunio Yasue: <cite style="font-style:italic">Stochastic calculus of variations</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Journal of Functional Analysis</cite>. Band 41, Nr. 3, 1. Mai 1981, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220022-1236%22&key=cql">0022-1236</a>, S. 327–340, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/0022-1236%2881%2990079-3">10.1016/0022-1236(81)90079-3</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022123681900793">sciencedirect.com</a> [abgerufen am 17. Oktober 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=Stochastic+calculus+of+variations&rft.au=Kunio+Yasue&rft.date=1981-05-01&rft.doi=10.1016%2F0022-1236%2881%2990079-3&rft.genre=journal&rft.issn=0022-1236&rft.issue=3&rft.jtitle=Journal+of+Functional+Analysis&rft.pages=327-340&rft.volume=41" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> <a href="Wolfgang_Yourgrau" title="Wolfgang Yourgrau">Wolfgang Yourgrau</a>, <a href="Stanley_Mandelstam" title="Stanley Mandelstam">Stanley Mandelstam</a>: <cite style="font-style:italic">Variational principles in dynamics and quantum theory</cite>. 3. Auflage. <a href="Dover_Publications" title="Dover Publications">Dover Publications</a>, 1968, ISBN 0-273-40287-0.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Wolfgang+Yourgrau%2C+Stanley+Mandelstam&rft.btitle=Variational+principles+in+dynamics+and+quantum+theory&rft.date=1968&rft.edition=3&rft.genre=book&rft.isbn=0273402870&rft.pub=Dover+Publications" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> Francis Clarke: <cite style="font-style:italic">Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control</cite> (= <cite style="font-style:italic"><a href="Graduate_Texts_in_Mathematics" title="Graduate Texts in Mathematics">Graduate Texts in Mathematics</a></cite>. Band 264). Springer London, London 2013, ISBN 978-1-4471-4819-7, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-1-4471-4820-3">10.1007/978-1-4471-4820-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Francis+Clarke&rft.btitle=Functional+Analysis%2C+Calculus+of+Variations+and+Optimal+Control&rft.date=2013&rft.doi=10.1007%2F978-1-4471-4820-3&rft.genre=book&rft.isbn=9781447148197&rft.place=London&rft.pub=Springer+London&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> Arnold Dresden: <cite style="font-style:italic">Book Review: Fondamenti di Calcolo delle Variazioni</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Bulletin of the American Mathematical Society</cite>. Band 32, Nr. 4, 1926, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220002-9904%22&key=cql">0002-9904</a>, S. 381–387, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1926-04231-2">10.1090/S0002-9904-1926-04231-2</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ams.org/journals/bull/1926-32-04/S0002-9904-1926-04231-2/home.html">ams.org</a> [abgerufen am 19. Oktober 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=Book+Review%3A+Fondamenti+di+Calcolo+delle+Variazioni&rft.au=Arnold+Dresden&rft.date=1926&rft.doi=10.1090%2FS0002-9904-1926-04231-2&rft.genre=journal&rft.issn=0002-9904&rft.issue=4&rft.jtitle=Bulletin+of+the+American+Mathematical+Society&rft.pages=381-387&rft.volume=32" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> Philippe Blanchard, Erwin Brüning: <cite style="font-style:italic">Direkte Methoden der Variationsrechnung</cite>. Springer Vienna, Vienna 1982, ISBN 978-3-7091-2261-7, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2260-0">10.1007/978-3-7091-2260-0</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Philippe+Blanchard%2C+Erwin+Br%C3%BCning&rft.btitle=Direkte+Methoden+der+Variationsrechnung&rft.date=1982&rft.doi=10.1007%2F978-3-7091-2260-0&rft.genre=book&rft.isbn=9783709122617&rft.place=Vienna&rft.pub=Springer+Vienna" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> <a href="Bernard_Dacorogna" title="Bernard Dacorogna">Bernard Dacorogna</a>: <cite style="font-style:italic">Direct Methods in the Calculus of Variations</cite>. Springer New York, New York, NY 2007, ISBN 978-0-387-35779-9, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-0-387-55249-1">10.1007/978-0-387-55249-1</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=Bernard+Dacorogna&rft.btitle=Direct+Methods+in+the+Calculus+of+Variations&rft.date=2007&rft.doi=10.1007%2F978-0-387-55249-1&rft.genre=book&rft.isbn=9780387357799&rft.place=New+York%2C+NY&rft.pub=Springer+New+York" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> <a href="R._Tyrrell_Rockafellar" class="mw-redirect" title="R. Tyrrell Rockafellar">R. Tyrrell Rockafellar</a>, <a href="Roger_Wets" title="Roger Wets">Roger J. B. Wets</a>: <cite style="font-style:italic">Variational Analysis</cite> (= <cite style="font-style:italic">Grundlehren der mathematischen Wissenschaften</cite>. Band 317). Springer, Berlin/Heidelberg 1998, ISBN 978-3-540-62772-2, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-02431-3">10.1007/978-3-642-02431-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.au=R.+Tyrrell+Rockafellar%2C+Roger+J.+B.+Wets&rft.btitle=Variational+Analysis&rft.date=1998&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-02431-3&rft.genre=book&rft.isbn=9783540627722&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer&rft.series=Grundlehren+der+mathematischen+Wissenschaften" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> <a href="Wladimir_Iwanowitsch_Smirnow" title="Wladimir Iwanowitsch Smirnow">Wladimir I. Smirnow</a>: Lehrgang der höheren Mathematik (= Hochschulbücher für Mathematik. Bd. 5a). Teil 4, 1. (14. Auflage, deutschsprachige Ausgabe der 6. russischen Auflage). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00366-8.

</li>

<li id="cite_note-26"><a href="#cite_ref-26">↑</a> Siehe auch Helmut Fischer, Helmut Kaul: Mathematik für Physiker. Band 3: Variationsrechnung, Differentialgeometrie, mathematische Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie. 2., überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2006, ISBN 3-8351-0031-9.

</li>

<li id="cite_note-27"><a href="#cite_ref-27">↑</a> Sadri Hassani: <cite style="font-style:italic">Calculus of Variations, Symmetries, and Conservation Laws</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mathematical Physics</cite>. Springer International Publishing, Cham 2013, ISBN 978-3-319-01194-3, S. 1047–1075, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-319-01195-0_33">10.1007/978-3-319-01195-0_33</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Variationsrechnung&rft.atitle=Calculus+of+Variations%2C+Symmetries%2C+and+Conservation+Laws&rft.au=Sadri+Hassani&rft.btitle=Mathematical+Physics&rft.date=2013&rft.doi=10.1007%2F978-3-319-01195-0_33&rft.genre=book&rft.isbn=9783319011943&rft.pages=1047-1075&rft.place=Cham&rft.pub=Springer+International+Publishing" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-28"><a href="#cite_ref-28">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Euler_operator">Euler operator – Encyclopedia of Mathematics.</a> Abgerufen am 21. Oktober 2022.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AVariationsrechnung&rft.title=Euler+operator+%E2%80%93+Encyclopedia+of+Mathematics&rft.description=Euler+operator+%E2%80%93+Encyclopedia+of+Mathematics&rft.identifier=https%3A%2F%2Fencyclopediaofmath.org%2Fwiki%2FEuler_operator">

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4062355-5">4062355-5</a> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85018809">sh85018809</a> | <a href="Web_NDL_Authorities" title="Web NDL Authorities">NDL</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlsh/00563089">00563089</a> </div>

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